Нормальное (Гауссово) распределение

Без малейшего преувеличения нормальнеое распределение можно назвать философским законом. Присмотревшись к объектам и процессам окружающего мира, мы замечаем, что одни вещи встречаются редко, в то время как другие встречается часто и тогда мы называем их нормой: 

На рисунке представлен принципиальный вид функции плотности нормального распределения вероятностей с разными значениями среднеквадратичного отклонения.

Где встречается такое распределение? Рассмотрим примеры, коих очень много. Это, например, рост, вес людей (и не только), их физическая сила, умственные способности и т.д. На рисунке ниже представлены средние величины роста для взрослых жителей России по регионам.

Примерно среднему значению роста и соответствует пик на кривой распределения. Это значит, что большинство взрослых жителей нашей страны будут иметь именно такой рост, многие будут чуточку ниже, или чуточку выше, а вот людей с ростом 2,3 метра, или 1,3 метра, как вы понимаете, встретить будет весьма непросто. То есть существует «основная масса» (по тому или иному признаку) и существуют отклонения в обе стороны. 

Под нормальное распределения попадают не только физические параметры независимых объектов, но так же и случайная продолжительность процессов, например, время забега стометровки, превращения смолы в янтарь или время распада одного атома радиоактивного изотопа.

Какие именно величины могут описываться нормальным распределением? Понятие об этом описывается в центральной предельной теореме (теореме Ляпунова). Её суть состоит в том, что если случайная величина  является суммой очень большого числа взаимно независимых случайных величин , влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то  имеет распределение, близкое к нормальному.

В окружающем мире условие теоремы Ляпунова выполняется очень часто, и поэтому нормальное распределение (близкое к нему) и встречается буквально на каждом шагу.

Ещё пример из физики - молекулы воздуха: среди них есть медленные, есть быстрые, но большинство двигаются со «стандартными» скоростями. Поэтому скорость молекул воздуха распределена нормально.Из биологии - большая популяция некоторых особей. Каждая из особей (или подавляющее большинство) оказывает несущественное влияние на жизнь всей популяции, следовательно, длина их лапок тоже распределена по нормальному закону.

Посмотрите научно-популярный ролик на эту тему в переводе от известной студии VertDider 

Задания:

1. Придумайте и запишите 5 примеров параметров реального мира из разных областей, подпадающих под нормальное распределение (повторять уже сказанное не нужно).

2. Представьте, что мы с вами биологи, изучающие недавно найденный на отдалённых островах вид червей. Мы собрали данные о среднем весе взрослых червей выполнив на двух  островах по 10000 измерений. Распределение веса на двух островах представлено на картинке ниже:

Глядя на синюю и красную кривые распределения веса червей на двух разных островах, попытайтесь описать в чём вы видите качественное различие в этих распределениях?

Использованы материалы и идеи с сайтов:

mathprofi.ru

statanaliz.info

bourabai.kz